証明スーパーカミオカンデ探知機のニュートリ振動確率公式(QuantumMechanics,JJ.SakuraP_{149} 問題2.4):
P_{{v_e}->v_e}=1-\sin^{2}(2\theta)\sin^{2}{{\Delta}m^2c^4{\pi}L \over 2Ehc}
スーパーカミオカンデの実験で、ニュートリノは遠くの原子炉からきた、つまりＬ＝150km。この実験の中には味と状態の関係は以下です：
|v_{e}> =cosθ|v_1> -sinθ|v_2>
解答:
1. まずは時間転換の演算子:
U(t,0)=e^{-{i2πHt\over h}}
2. エネルギーと質量の関係:
E_{v_e}={(p^2c^2+m^2c^4)^{1\over 2}}≈{pc(1+(m^2c^2)) \over 2p^2}
The eigenvalue of H isE_{v_e},the eigenvalue of M(Mass operator) is m.
3. Replace the H inU(t,0):
U(t,0)=exp[-i2πpc(1+\frac{M^2c^2}{2p^2}) \frac{t}{h}]
4. In this case,the proability for the system to be found in the |V_e> state at some later time t is:
<v_{e}|U(t,0)|v_{e}>^2
=|(<v_1|cosθ-<v_2|sinθ)e^{-i2πpc{(1+{M^2c^2 \over 2p^2})}{t \over h}} (cosθ|v_1> -sinθ|v_2>)|^2
=|cos^2θe^{-i2πpc{(1+{M^2c^2 \over 2p^2})}{t\over h}}+sin^2θe^{-i2πpc{(1+{M^2c^2 \over 2p^2})}{t \over h}}|^2
=cos^4θ+sin^4θ+2cos^2θsin^2θcos(m_1t)cos(m_2t)+2cos^2θsin^2θsin(m_1t)sin(m_2t)
5. 質量は:
m_1={2πpc \over h}{1+m_1^2c^2\over 2p^2},m_2={2πpc \over h}{1+m_2^2c^2\over 2p^2}
6. m1, m2を4に代入する:
=cos^4θ+sin^4θ+{1\over 2}sin^2θ(cosm_1tcosm_2t+sinm_1tsinm_2t)
=(cos^2θ+sin^2θ)^2-2cos^2θsin^2θ+{1 \over 2}sin^2θcos(m_1-m_2)t
=1-sin^2 2θ[1-{cos(m_1-m_2)t\over 2}]
And:
m_1-m_2={2\pi pc \over h}(1+{m_1^2c^2\over 2p^2})-{2πpc\over h}(1+{m_2^2c^2 \over 2p^2}) ={2πpc\over h}{\Delta m^2c^2\over 2p^2}
7. p=\frac{E}{c}, L=ct代入する:
(m_1-m_2)t= {πΔm^2c^4L\over Ehc}
8. 7を６に代入する:
<v_e|U(t,0)|v_e>^2=P_{(v_e->v_e)}=1-sin^2 2θsin^2[{(\Delta m)^2c^4π\over 2hc} {L\over E}]
実験で実際に探測できたP-{L\over E}関係:
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